Application of MGDA to domain partitioning

This report is a sequel to several publications in which a Multiple-Gradient Descent Algorithm (MGDA) has been proposed and tested for the treatment of multi-objective differentiable optimization. The method was originally introduced in [4], and again formalized in [6]. Its efficacy to identify the Pareto front has been demonstrated in [9], in comparison with an evolutionary strategy. Finally, recently, a variant, MGDA II, has been proposed in which the descent direction is calculated by a direct procedure [5]. In this new report, the efficiency of the algorithm is tested in the context of a simulation by domain partitioning, as a technique to match the different interface components concurrently. For this, the very simple testcase of the finite-difference discretization of the Dirichlet problem over a square is considered. The study aims at assessing the performance of MGDA in a discretized functional setting. One of the main teachings is the necessiy, here found imperative, to normalize the gradients appropriately. Key-words: multiobjective optimization, descent direction, convex hull, Gram-Schmidt orthogonalization process ∗ INRIA Research Director, Opale Project-Team Head ha l-0 06 94 03 9, v er si on 2 21 M ay 2 01 2 Application de MGDA au partionnement de domaine Résumé : Ce rapport fait suite à plusieurs publications dans lesquelles on a proposé et testé un Algorithme de Descente à Gradients Multiples (MGDA) pour traiter les problèmes d’optimisation différentiable multi-objectifs. La méthode a été introduite originellement dans [4], et à nouveau formalisée dans [6]. Sa capacité à identifier le front de Pareto a été mise en évidence dans [9], en comparaison à une stratégie évolutionnaire. Enfin, récemment, une variante, MGDA II, a été proposée dans laquelle la direction de descente est calculée par une procédure directe [5]. Dans ce nouveau rapport, on teste l’efficacité de l’algorithme dans le contexte d’une simulation par partionnement de domaine, comme technique pour raccorder concouramment les différentes composantes d’interface. Pour cela, on considère le cas-test très simple de la discrétisation par différences finies du problème de Dirichlet dans un carré. Le but de l’étude est d’évaluer la performance de MGDA dans un cadre fonctionnel discrétisé. L’un des principaux enseignements est la nécessité, ici impérative, de normaliser les gradients de manière appropriée. Mots-clés : optimisation multiobjectif, direction de descente, enveloppe convexe, processus d’orthogonalisation de Gram-Schmidt ha l-0 06 94 03 9, v er si on 2 21 M ay 2 01 2 MGDA in domain partitioning 3